Principios Básicos de Estadística (página 2)

Por último, cabe destacar
aquí, al profesor de física, G. T. Fechner. Este
científico del siglo XIX aplicó los conocimientos
de estadística de su tiempo a las ciencias sociales,
fundamentalmente a la psicología.

Generalidades

La estadística descriptiva incluye
al conjunto de tratamientos de los datos de una muestra, de los
que se extraen unos valores que sintetizan o resumen sus
características más importantes, y las
técnicas de representación de estos valores de
forma que se facilite su análisis. Los valores que aportan
gran información sobre los datos tomados son las medidas
de centralización, dispersión y forma.

Se conoce con el nombre de variable
cuantitativa, o simplemente variable, a aquella
magnitud que toma valores mensurables. Las variables se conocen
como discretas si toman valores enteros, como el número de
alumnos en un aula o el número de defectos por metro en un
cable eléctrico. Las variables continuas pueden variar de
forma continua, como por ejemplo el peso de una persona o la
longitud de una varilla.

Las variables cualitativas o
atributos son aquellas cualidades que no son
mensurables, por ejemplo si una determinada pieza es o no
defectuosa.

La Regresión muestra la dependencia
entre variables por medio de un modelo matemático que
contempla tanto la parte sistemática como la aleatoria de
la relación entre dichas variables. El modelo obtenido se
contrasta por medio de unas pruebas estadísticas con las
que se comprueban las hipótesis formuladas, y así
generalizar los resultados a la población.

Medidas de
centralización

Estas medidas proporcionan
información sobre la tendencia central de las
observaciones.

– Media: La media o media aritmética
( x ) es la suma de un conjunto de valores dividido entre el
número total de estos datos.

En el caso en el que los datos estén
agrupados en intervalos, los valores de una misma clase pueden
ser sustituidos por la marca de la clase
correspondiente.

Las propiedades de la media son las
siguientes:

– La media de una constante es la propia
constante.

– La media de la suma o diferencia de
variables es igual a la suma o diferencia de las medias de dichas
variables.

– La media del producto de una constante
por una variable, es igual a la constante por la media de la
variable.

– La media de una combinación lineal
de dos o más variables es igual a la combinación
lineal de las medias de dichas variables.

– La media es el centro de gravedad de la
distribución, ya que las desviaciones respecto a la media
suman 0.

– Mediana: La mediana es el valor del
elemento que ocupa el lugar central, si los datos están
ordenados, bien de forma creciente o de forma
decreciente.

– Moda: La moda es el valor más
frecuente, es decir es el valor de la variable que se repite un
mayor número de veces.

En el caso de una distribución
totalmente simétrica, la media y la mediana coinciden. Si
la media y la mediana difieren mucho significa que hay
heterogeneidad entre los datos y que la distribución, por
tanto será asimétrica.

Medidas de
dispersión

Son las medidas que muestran la variación de los datos
tomados.

– Recorrido: El Recorrido (R) es la
diferencia entre el valor mayor y el valor menor de los que toma
la variable.

Las propiedades de la varianza
son:

– La varianza es siempre positiva o
cero.

– La varianza de una constante es
cero.

– La varianza de la suma o diferencia de
una variable y una constante es igual a la varianza de la
variable.

– La varianza de un producto de una
constante por una variable es igual al cuadrado de la constante
por la varianza de la variable.

– Desviación Típica: La
desviación típica o estándar (S) se define
por:

Las propiedades de la desviación
típica son:

– La desviación típica es
siempre positiva o cero.

– La desviación típica de una
constante es cero.

– La desviación típica de una
constante por una variable es igual a la constante por la
desviación típica de la variable.

– La desviación típica de la
suma o diferencia de una variable y una constante es igual a la
desviación típica de la variable.

– Meda: La meda es al medida de
dispersión asociada a la mediana, y es la mediana de las
desviaciones absolutas.

Representación gráfica de los
datos

Las representaciones gráficas de una
distribución de frecuencias permite obtener, de un golpe
de vista, información de las características de
dicha distribución.

A) Histograma

El Histograma representa la frecuencia con
la que se presentan los diferentes grupos de datos de la variable
objeto de estudio. Es un conjunto de rectángulos, los
cuales representan a cada una de las clases. En el eje de
abscisas se representan las clases definidas y en el eje de
ordenadas la frecuencia de cada una de ellas.

La amplitud del intervalo de las clases se
halla dividiendo el Recorrido entre el número de
clases.

El Histograma proporciona mucha
información respecto a la estructura de los datos. Por
tanto, es importante analizar la situación del centro del
Histograma y el ancho del mismo que definen la tendencia central
y la variabilidad del conjunto de datos respectivamente,
así como la forma del Histograma que identifica algunas de
las características del proceso en estudio.

– Distribución Simétrica
Unimodal: Se caracteriza porque cada una de las observaciones
equidistantes al máximo central, tienen aproximadamente la
misma frecuencia. Es típico de la mayoría de los
procesos industriales.

– Distribución
Asimétrica: Es típica de datos
económicos, y de forma general en distribuciones de renta,
consumo de electricidad, población, tamaño de
empresas,…

– Distribución Triangular: Es
totalmente asimétrica y se presenta al estudiar tiempos
entre averías, entre llegadas, entre accidentes, o en
fabricación donde existe la imposibilidad de superar un
valor o bien se ha realizado una selección de 100% de
alguna característica.

– Distribución Bimodal: Se
presenta como dos distribuciones muy separadas. Suele aparecer
cuando se han recopilado datos a partir de dos procesos
distintos, tales como las características de una pieza
suministrada por dos proveedores diferentes.

– Distribución Rectangular:
Presenta gran variabilidad. Aparece al mezclar datos de
Distribuciones Simétricas Unimodales.

– Distribución Truncada:
Aparece al presentar datos de procesos que no cumplen las
especificaciones, después de pasar un control de calidad.
Puede ser, también un síntoma de una
elección de un número de clases menor al
adecuado.

– Distribución sin Datos en la
Zona Central: Suele aparecer cuando los datos corresponden a
un material de mala calidad, y el "material bueno" ha sido
seleccionado previamente.

– Distribución con Picos en las
Colas: Es una representación típica cuando se
han sometido a un reproceso, los elementos que en un primer
control cayeron fuera de tolerancias.

B) Diagrama de puntos

Este gráfico muestra un conjunto de
puntos, que son la intersección de las frecuencias
(representadas en el eje de ordenadas) y de los valores de la
distribución (representados en el eje de
abscisas).

C) Diagrama de barras

Presenta los valores posibles de los datos
sin agrupar y sus frecuencias absolutas o relativas. En el eje
horizontal aparecen los datos tratados y en el eje vertical las
frecuencias. Sobre el eje horizontal se traza un segmento de
longitud proporcional al valor de las frecuencias.

D) Polígono de frecuencias

Es un gráfico que une los puntos que
representan la intersección de las marcas de clase con su
frecuencia correspondiente.

Cabe mencionar también los
gráficos de sectores, de rectángulos, pictogramas,
etc.

Covarianza y
correlación. Análisis
gráfico

– Covarianza: Es una medida de
asociación que mide la relación lineal entre las
variables "x" e "y", y se define como:

En el caso de que los datos estén
agrupados en clases, la fórmula de la covarianza es la
siguiente:

– Correlación: Es el
resultado de dividir la covarianza por un término de sus
mismas dimensiones, obteniendo el coeficiente de
correlación (r). Sx y Sy, son las desviaciones
típicas de "x" e "y" respectivamente.

Las propiedades del coeficiente de
correlación son las siguientes:

– Si multiplicamos "x" e "y". por
constantes (aunque éstas sean distintas), el coeficiente
de correlación no varía.

– Cuando no existe una relación
lineal exacta entre "x" e "y", el coeficiente de
correlación varía entre -1 y 1 (-1 <> r
<> 1).

– Cuando no existe relación lineal r
= 0 (en este caso puede ocurrir que exista otro tipo de
relación no lineal).

– Si existe una relación lineal,
entonces r = 1 (correlación lineal perfecta y directa)
ó r = -1 (correlación lineal perfecta e
inversa).

Del simple análisis gráfico
se obtiene una gran información:

– Caso A: la relación es lineal, y
además es positiva o directa ya que la variable "y"
aumenta proporcionalmente con "x". Existe dispersión de
los puntos, por lo que "r" no se acercará a la
unidad.

– Caso B: Se observa que no existe ninguna
relación entre las variables. No hay variaciones
sistemáticas de una variable cuando varía la
otra.

– Caso C: Existe una relación
lineal, inversa o negativa. Los puntos están concentrados,
luego "r" estará próxima a "-1".

– Caso D: Existe una relación no
lineal.

Regresión
simple

Cuando existe una dependencia causal entre
dos variables, y se toman diversas observaciones, éstas
aparecen reflejadas en una nube de puntos debido al componente
aleatorio, a pesar de que pueda existir una fuerte dependencia
entre ellas. El objetivo de la regresión es obtener una
recta (línea de regresión, denominada así
por Galton) hacia la que tienden los puntos de un diagrama de
dispersión, y va a definir la dependencia exacta entre las
variables "x" e "y".

El modelo de la recta de regresión
se ajusta a la expresión:

Para proceder a la estimación de los
parámetros ?

se parte de las siguientes
hipótesis:

– Linealidad.

– Homocedasticidad de las perturbaciones,
es decir su variabilidad se mantiene constante.

– Independencia de las perturbaciones. Sus
covarianzas deben ser nulas, para que haya ausencia de
autocorrelación.

– Normalidad. Las perturbaciones deben
seguir el modelo de una distribución normal

Si de una población se extrae una
muestra, se tiene la siguiente relación:

Regresión
y correlación múltiples

En la realidad es habitual que exista una
dependencia causal entre más de dos variables, con una
variable dependiente "y" (efecto) y varias variables
independientes "x1", "x2",… (causas).

Estimación del modelo:

En una población, se
considera:

La estimación de los coeficientes de
regresión

se realiza por el método de los
mínimos cuadrados, minimizando la suma de los residuos al
cuadrado. También se deben cumplir las hipótesis de
linealidad, homocedasticidad, independencia y normalidad de la
parte aleatoria.

Ecuaciones
temporales

Las series temporales expresan la
relación entre dos variables, siendo una de ellas el
"tiempo". Estas series permiten describir la evolución en
el pasado de una magnitud y formular predicciones para el
futuro.

Este análisis puede realizarse desde
dos puntos de vista, el llamado enfoque clásico y el
enfoque causal.

El enfoque causal estudia las series
temporales en función de las variables que han producido
dichas variaciones, ya que el tiempo es sólo el marco
donde se producen los hechos, no la causa de los
mismos.

El enfoque clásico analiza la serie
considerando cada variable por separado y en función del
tiempo; se ha convertido en un método estándar de
estudio de estas series, y es aceptado de forma unánime
por los estadísticos; por tanto es el que se
describirá en el presente tema.

Las series temporales, también
denominadas series cronológicas, crónicas o
históricas son un conjunto de observaciones de una
variable, la cual está relacionada con un conjunto de
intervalos o instantes de tiempos. Cuando cada observación
se refiere a un período, la variable se denomina "flujo"
(por ejemplo, la serie mensual del consumo de electricidad a
nivel nacional) y cuando cada observación se refiere a un
instante, la variable se denomina "nivel" o "stock" (por ejemplo,
serie diaria de las temperaturas recogidas en un punto
determinado cada hora).

Las observaciones de una serie temporal
tienen ciertas peculiaridades, pues con el paso del tiempo pueden
perder homogeneidad a causa de factores como son la mejora de los
métodos de observación estadística, las
variaciones en las definiciones estadísticas, etc. Por
otra parte, las observaciones temporales no son del todo
independientes y es frecuente que una observación dependa
de la precedente, y se suele presentar una correlación
entre una serie temporal y la misma pero retardada en el tiempo,
fenómeno que se denomina autocorrelación. Por todo
ello, es necesario estudiar las series temporales de forma
independiente a las series de las observaciones
transversales.

Al analizar una serie temporal, se puede
apreciar que se producen variaciones, y éstas pueden
ser:

– Evolutivas: el "nivel medio" de la
variable está sometido a cambios muy bruscos.

En los siguientes gráficos se
aprecian estas variaciones; en la "figura 1" se observa
cómo la serie va pasando de unos niveles altos al
principio a unos muy bajos después, para volver al final a
tener unos niveles semejantes a los del principio. En la "figura
2", se aprecia cómo las observaciones van teniendo niveles
cada vez más altos.

– Estacionarias: el "nivel medio" de
la variable permanece prácticamente constante, lo que no
quiere decir que no aparezcan fluctuaciones.

En el siguiente gráfico aparece una
serie estacionaria, que aunque muestra fluctuaciones, el "nivel
medio" permanece constante en el tiempo.

Por tanto, como es normal encontrar
variables que fluctúan en el tiempo, es importante conocer
las causas que producen tales variaciones, para analizar la
evolución en el tiempo de un fenómeno determinado,
de forma que se pueda, tanto describir el comportamiento en el
pasado de la variable como formular predicciones para el
futuro.

Desde el punto de vista clásico, se
estudia una serie temporal considerando cada variable por
separado y en función del tiempo, es decir:

y = f (t)

Siendo:

y : variable dependiente

t : variable independiente o
explicativa

En general, las serie temporales son mensuales, trimestrales o
anuales.

Partiendo de la hipótesis de que las
observaciones de la variable corresponden a un intervalo de
tiempo, se supone que las variaciones que se producen son el
resultado del efecto de cuatro fuerzas o componentes: la
tendencia, la estacionalidad, los ciclos y los
accidentes.

– Tendencia (T): Conocida
también como "tendencia secular". Determina los
movimientos de la variable a largo plazo, ignorando de forma
consciente las variaciones a corto y medio plazo. Se consideran,
en general, más de diez años, para apreciar si la
serie obedece a una ley determinada. La tendencia proporciona
información sobre si la serie es estacionaria o
evolutiva.

– Estacionalidad (E): Representa las
variaciones a corto plazo, que se repiten de forma
periódica en un tiempo inferior al año, y que
además se van reproduciendo un año tras otro. Es
independiente de la tendencia y de las fluctuaciones
cíclicas.

La estacionalidad debe ser rigurosamente
periódica. Suponiendo "t" el número de años
y "m" el período correspondiente:

– Fluctuaciones cíclicas (C):
Corresponden a las variaciones a medio plazo, es decir a tiempos
superiores al año. Estos movimientos cíclicos no
son tan regulares como los estacionales, se corresponden con
movimientos de periodicidad y amplitud variables.

– Variaciones accidentales (A): Son
los movimientos esporádicos que se producen de forma
ocasional. Son provocados por dos tipos de factores: aleatorios
(provocados por pequeños accidentes) o erráticos
(como consecuencia de inundaciones, terremotos, huelgas, etc). Se
corresponden con movimientos irregulares e imprevisibles de poca
amplitud y no permanentes. En general, su media es nula, en un
numero pequeño de meses.

La tendencia y las fluctuaciones
cíclicas pueden tomarse de forma conjunta, como un
movimiento coyuntural o extraestacional, que marca la
evolución fundamental de la serie.

Inferencia
estadística

La inferencia estadística es una
parte de la Estadística que permite generar modelos
probabilísticos a partir de un conjunto de
observaciones.

Del conjunto se observaciones que van a ser
analizadas, se eligen aleatoriamente sólo unas cuantas,
que es lo que se denomina muestra, y a partir de dicha muestra se
estiman los parámetros del modelo, y se contrastan las
hipótesis establecidas, con el objeto de determinar si el
modelo probabilístico es el adecuado al problema real que
se ha planteado.

La utilidad de la inferencia
estadística, consiste en que si el modelo se considera
adecuado, puede usarse para la toma de decisiones o para la
realización de las previsiones convenientes.

En el desarrollo del tema se
utilizarán variables aleatorias, que son variables
determinadas por el azar.

La inferencia estadística parte de
un conjunto de observaciones de una variable, y a partir de estos
datos "infiere" o genera un modelo probabilístico; por
tanto es la consecuencia de la investigación
empírica. La inferencia estadística es, en
consecuencia, un planteamiento inductivo.

Partiendo de los datos recopilados, la
inferencia estadística sigue los siguientes
pasos:

– estimar los parámetros (por
ejemplo la media y la desviación típica)

– hallar los intervalos de confianza, es
decir el rango de valores donde es probable que se encuentren los
parámetros.

– contrastar las hipótesis (por
ejemplo si la media &µ es igual a un valor
&µ0 ó no es igual a &µ0).

Se entiende por población al
conjunto de elementos de los que se analiza una cierta
característica. La práctica dice que lo habitual,
es no poder estudiar la totalidad de estos elementos, debido a
diversas razones, tales como:

– Económicamente, no es rentable el
análisis de toda la población, por ser
excesivamente grande.

– Los elementos, no existen como tales.
Como son los casos de los elementos defectuosos.

– El análisis requiere la
destrucción de los elementos. Como, por ejemplo, en los
ensayos destructivos.

Por todo lo mencionado anteriormente, se
selecciona sólo un conjunto de los elementos, que es lo
que se denomina muestra.

Se entiende por marco el patrón de
la población por el cual deben regularse o contrastarse
las medidas.

Muestreo
aleatorio

Dentro de las técnicas de muestreo
aleatorio merecen mención, el muestreo aleatorio simple,
el muestreo aleatorio estratificado, el muestreo
sistemático y el muestreo polietápico. Todas ellas
tienen como objetivo fundamental seleccionar muestras que sean
representativas de la población.

A) Muestreo Aleatorio Simple

El muestreo aleatorio simple consiste en
seleccionar elementos de una población, bajo las
siguientes condiciones:

-todos los elementos tienen la misma
probabilidad de ser elegidos

-la población es idéntica en
todas las extracciones, es decir una vez seleccionada una
población, ésta se reemplaza.

La selección de las observaciones de
una muestra aleatoria simple, se suele realizar mediante
"números aleatorios", que son precisamente, un conjunto de
números, los cuales tienen todos ellos la misma
probabilidad de aparición.

Si x1, x2,…,xn es una muestra aleatoria
simple de una variable discreta, la probabilidad de obtener dicha
muestra se denomina "probabilidad conjunta" y es igual al
producto de las probabilidades de cada
observación:

P (x1, x2,…,xn) = P (x1) P (x2) … P (xn)

Esta relación se obtiene como
consecuencia de la independencia de las observaciones.

Si la variable aleatoria es continua, se
establece una relación equivalente a la anterior, pero con
las funciones de densidad.

f (x1, x2,…,xn) = f (x1) f (x2) … f
(xn)

Con esta técnica, cada uno de los
elementos de la muestra Xi será una variable aleatoria con
la misma distribución que la población de la que se
ha obtenido.

Entre sí, los elementos muestrales
también son variables aleatorias
independientes.

Método de montecarlo

El Método de Montecarlo es una forma
artificial de realizar el muestreo aleatorio simple, pues se
utiliza cuando los elementos de la población no
están disponibles.

Consiste en seleccionar muestras de
cualquier población, siempre y cuando se conozca su
distribución de probabilidad.

B) Muestreo Aleatorio
Estratificado

El muestreo aleatorio estratificado se
produce cuando los elementos de una población se
estructuran en clases (o estratos).

Para dividir la población en clases
se siguen los siguientes criterios:

– Se respetan, de forma proporcional, los
tamaños relativos en la población. Es decir, si en
una población existieran un 60% de mujeres y un 40% de
hombres, esta proporción se respetaría en el
estrato.

– Se respeta también, de forma
proporcional, la variabilidad de la población en el
estrato. Es decir, se toman menos elementos de estratos donde la
característica tenga menor dispersión.

La muestra se elige de la siguiente
manera:

-se asigna un número determinado de
elementos a cada clase

-se elige, por muestreo aleatorio simple,
dentro de cada clase

C) Muestreo Sistemático

Se utiliza cuando los datos de la
población se presentan ordenados en listas. Dada una
población de tamaño "N", si se pretende obtener una
muestra de tamaño "n". Suponiendo que "k" es el
número entero más cercano a N/n, la muestra
sistemática se va obteniendo al azar un elemento entre los
primeros "k" (mediante números aleatorios).

Si el orden del elemento elegido es n?, a
continuación se toman los elementos n1+k, n?+2k, y
así de forma sucesiva a intervalos fijos de "k" hasta
completar la muestra.

Si en el orden en el que se presentan los
elementos de la población, se encuentran más
próximos los individuos que son más semejantes y se
encuentran más alejados los individuos que más
difieren entre sí, este método es más
preciso que el muestreo aleatorio simple, porque cubre de forma
más homogénea la población.

Si el orden de los elementos que figuran en
las listas ha sido tomado al azar, este método es igual al
muestreo aleatorio simple.

D) Muestreo Polietápico

Se utiliza cuando la población es
muy heterogénea. Para seleccionar una muestra de una
población se va dividiendo dicha población de forma
sucesiva conforme algún criterio determinado con
anterioridad. De las partes que resultaron de la primera
división se eligen algunas por muestreo aleatorio simple.
A su vez estas partes se subdividen en otras y de ellas se vuelve
a seleccionar algunas, también por muestreo aleatorio
simple.

Un ejemplo clásico de un muestreo
polietápico resulta cuando se quiere seleccionar una
muestra de una ciudad grande; la ciudad se divide en barrios y de
ellos se eligen algunos por muestreo aleatorio simple; los
barrios se dividen en calles, y dentro de ellas se seleccionan
algunas también por muestreo aleatorio simple, y
así sucesivamente.

Estadístico

Un Estadístico o Estimador de un
parámetro poblacional ? desconocido es cualquier
función que relaciona los elementos de la muestra y que
utilizaremos para estimar o contrastar el verdadero valor de

Debido a que el estimador es una
función de la variable aleatoria que representa la muestra
genérica, será a su vez una variable aleatoria con
su correspondiente distribución en el muestreo.

Distribuciones de
variables discretas

Una variable aleatoria es discreta cuando
el conjunto de sus valores posibles es finito, o bien en el caso
de ser infinito es numerable. La distribución de
probabilidad de variables aleatorias discretas se representa
indicando los valores de la variable aleatoria y sus respectivas
probabilidades.

Distribución binomial

Una distribución sigue la ley
binomial siempre y cuando se cumplan las siguientes
hipótesis:

– Las observaciones se clasifican en dos
categorías, que son además excluyentes. Por
ejemplo, los elementos se pueden clasificar en aceptables o
defectuosos

– Las observaciones son independientes.
Esto significa que la probabilidad de que aparezca un elemento
aceptable es siempre la misma y a su vez la probabilidad de
aparición de un elemento defectuoso también se
mantiene.

– La proporción de elementos de las
dos categorías en las que se ha clasificado la
población es siempre constante.

El modelo de la distribución
binomial se aplica a:

– poblaciones finitas, de las que se toman
elementos al azar, con reemplazamientos.

– poblaciones consideradas infinitas desde
el punto de vista conceptual, como son las piezas que produce una
máquina (defectuosas o aceptables), siempre que el
resultado de cada momento sea independiente de lo ocurrido con
anterioridad.

La variable binomial es una variable
discreta, de parámetros "n" y "p" que toma los valores
enteros:

x = 0,1,2,…,n

Sean los parámetros, "p" y "q"
comprendidos entre 0 y 1, y siendo q=1-p, se cumple
también que:

Es una distribución, en general,
asimétrica. Sólo es simétrica cuando se
verifica que p = 1/2

La media, varianza y desviación
típica tienen las siguientes expresiones:

Su media es igual al producto de los
parámetros "n" y "p":

Un ejemplo de distribución binomial
son los sondeos a una población cuyos individuos se
dividen en dos categorías.

Distribución binomial negativa

La distribución binomial negativa
permite hallar un número de "z" elementos de una
categoría antes de que aparezca el primer elemento de la
otra categoría.

Por ejemplo: "z" piezas aceptables antes de la k-ésima
defectuosa.

Distribuciones de
variables continuas

Una variable aleatoria es continua cuando
puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo.

Para representar un distribución de
probabilidad de variables continuas es necesario tener en cuenta
los siguientes aspectos:

Si las medidas de una magnitud se
representa en un Histograma y se van tomando cada vez más
observaciones y se van disminuyendo el tamaño de las
clases, dicho Histograma tiende a una curva que describe el
comportamiento de la variable a largo plazo. Esta función
límite recibe el nombre de Función de Densidad f
(x).

El área del Histograma es la unidad,
debido a que la suma de las frecuencias relativas es la unidad.
En consecuencia:

Distribución Normal

La Distribución Normal o de
Gauss-Laplace es la distribución de probabilidad
más importante, pues muchos procesos de medición
sin errores sistemáticos se aproximan a ella.

La función de densidad de una
distribución normal es la siguiente:

Para transformar una variable aleatoria
normal "x" en una variable normal estándar "z", se realiza
mediante la expresión:

La distribución normal tiene como
coeficiente de apuntamiento el valor 3, el cual se toma de
referencia para juzgar otras distribuciones.

Distribución "t" de
Student

La Distribución "t" de Student es
una distribución continua que se define por la siguiente
expresión:

La distribución "t" de Student puede
tomar valores negativos, pero, en general, sólo interesa
su magnitud y no su signo.

Es una distribución simétrica
y con mayor dispersión que la distribución normal.
No obstante, cuando "n" es igual o mayor que 100, la
distribución "t" es igual a la normal.

Su media y su varianza son
respectivamente:

Distribución x2

Su media y su varianza son
respectivamente:

Autor:

Blgo. Mcblogo. Juan Antonio Pérez
Sáez

Escuela De Post – Grado Unscho

Ecología y Medio Ambiente

Ayacucho, junio del 2010.